0 引言

量子力學與信息理論是上個世紀最重要的科學發現之一。雖然這兩個領域最初是分開研究的,但它們實際上是密切相關的^[1]。在本文中,將傳統的信息理論擴展到量子信息理論領域,并探索量子糾纏、退相干等效應所施加的限制^[2],這不同于經典力學對信息存儲和傳輸的限制^[3],因為從相對熵的一個關鍵屬性邏輯上來看^[4],本文研究中的許多關鍵結果的推導,與“通常”表述方法需要進行區分。量子通信可以通過使用相對信息熵理論,計算量子退相干多用戶信道的容量,并可以通過凸優化計算最大信道容量的范圍^[5]。另外,本文還討論了量子信息熵理論的熱力學^[6]和量子測量的物理意義。

針對電力通信信道實時連續的情況,本文給出了基于Lebesgue積分的絕對連續的量子相對熵概率測度,并用其密度來標識。對于概率測度,可以引入相對熵和Fisher信息的定義與相互關系。在信息理論、概率和統計學中這些結論都能起到重要作用^[7]。

本文在涉及相對熵函數的量子信息理論中研究各種凸優化問題^[8-9],通過使用半正定規劃算法求出問題的近似解^[10-11]。特別地,使用這種方法來獲得關于量子條件互信息與相對熵擬下限的數值^[12-13]。

 1 量子相對熵

此處簡要介紹量子相對熵的定義及其主要性質,文獻[14]給出了下述定理和性質的證明,本文不再給出詳細證明。

1.1 馮諾依曼熵

定義1.1 馮諾依曼熵ρ∈Q(H )定義如下：

 （2）

式中,p為概率函數。若ρ的譜可以基于正交基{|φ_a〉}_a∈A分解為ρ=∑ρ(a)|φ_a〉 〈φ_a|,則馮諾依曼熵退化為香農熵p。

馮諾依曼熵有2個性質,其證明見文獻[14]。

定理1.1 令ρ為互正交的密度算子,則馮諾依曼
熵  ,滿足：

 。

定理1.2 記混合狀態向量為

|ψ〉∈H_A  （4）

1.2 量子相對熵及其正定性

定義1.2 令ρ,σ∈Q(H),ρ到σ的量子相對信息熵定義為：

 H_B上給定ρ^AB,有：

 （7）

上式稱為Klein不等式,等號成立的條件為當且僅當ρ=σ。

定理1.4 馮諾依曼熵的次可加性。令ρ∈Q(H_A  （8）

其中等號成立的條件為當且僅當ρ^AB=ρ^A  （9）

上式稱為Uhlmann不等式。

推論1.1 令ρ^AB,σ^AB∈Q(H_A  （10）

推論1.2 令ε:L(H)→L(H′)在完全正定和酉保跡映射下滿足ε(I)=I,ε:L(H)→L(H′),其中I為H上的單位元,則馮諾依曼熵不遞減：

 H_B  （12）

 2 相對信息熵的積分表示

例如在電力系統中的信息是實時、連續的,用積分對相對信息熵進行定義,采用Lebesgue測度來定義絕對連續的實數域Rⁿ的熵,用f(x)表其概率密度,并引入熵S(f)和Fisher信息J(f)。

定義2.1 f為Rⁿ上的概率測度,微分熵定義為^[15]：

 （14）

當Rⁿ上的隨機變量X有可微密度f,同樣可記為J(X)=J(f)。

定義2.2 f對于g的相對熵D(f||g)定義為：

 （16）

該值也是非負數值,當隨機變量X和Y分別具有密度f和g時,X相對于Y的相對熵和相對Fisher信息分別定義為D(X||Y)=D(f||g)和J(X||Y)=J(f||g)。

引理2.1 令f<<g是具有有限Fisher信息J(f)<∞和J(g)<∞在Rⁿ上的概率測度,以及有限相對熵D(f||g)<∞,然后得到：

 （18）

證明：對上述引理和定理簡要證明如下。首先當t>0時,Fisher信息J(f_t)和J(g_t)有限,且隨機變量X和Z的均值為0,方差為I_n。對于  （19）

其中J(Z)=n,且方程D(f_t||g_t)是非遞增的,則：

 （21）

將上式帶入式則得到引理結論。因為當t→∞

時, 

帶入即可得到定理的結論。

 3 量子相對熵的半正定優化

3.1 糾纏輔助信道容量

在前面兩節對離散和連續情況下量子相對熵的定義和計算方法,可以進一步定義量子信道容量,并采用凸優化算法得到最大容量。考慮量子信道,具有輸入A和輸出B, C_ea表示為糾纏輔助經典信道的能力。如果允許發射機和接收機共享任意糾纏狀態,可以通過信道可靠地傳輸的經典比特量。記密度集合A算子D(A),量子通道的糾纏輔助經典能力具有簡單的最大化表達式：

 E,即對于任意算子X,信道可表示為ψ(X)=tr[UXU^*],信道互信息量可定義為：

 （24）

由于H(B|E)和H(B)在σ=UρU*上是凹的,因此在ρ上S(ρ||ψ)是凹的。

圖1 糾纏輔助經典振幅阻尼信道容量Fig.1 The entanglement assisted classical amplitude damping channel capacity

考慮振幅阻尼信道,信干比記為γ,計算糾纏輔助狀態下振幅阻尼信道的容量,糾纏輔助經典振幅阻尼信道容量如圖1所示。

3.2 量子退相干信道容量

量子信道的（無輔助）量子容量Q(ψ)是能夠可靠地在信道ψ傳輸的量子比特數量（量子位）,可表示為：

 （26）

上述定義中,ψ^c表示信道ψ的互補信道。若ψ為環境E下由A到B的信道,其對等映射表示為ψ^c:L(A)→L(B)、U:A→B  （27）

在退相干信道下,如果存在信道ε:L(B)→L(E′)且E′?E,則有ψ^c=ε°ψ。若信道退相干,可以忽略式的極限條件,在ρ中S_C是凹的。這種情況下,假設ψ^c=ε°ψ且令W:B→E′  （28）

圖2 振幅阻尼受限量子信道容量Fig.2 Amplitude damping confined quantum channel capacity

由于條件熵是凹的,  是凹的。圖2為采用半正定規劃算法計算的不同信干比條件下,量子退相干信道的容量。

3.3 糾纏態相對熵

狀態x和x可分離的凸集定義為：

 B)中的兩分狀態ρ,糾纏態下相對熵從ρ到S的距離定義為：

 （30）

同樣可以定義半正定規劃的k次分割距離R^(k)(ρ)。

3.4 可恢復的相對熵和條件相互信息

考慮一個三方狀態ρ^ABC在希爾伯特空間A  C上的定義,給定B的A和C的條件相互信息定義為：

 （32）

這里ψ是量子信道,對應作用于B上的三元組。

Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy " style="box-sizing: border-box; color: rgb(43, 43, 43); text-decoration-line: none;">圖3 互信息熵與相對熵的比較Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy

 4 結語

本文論述了量子相對信息熵的定義,及其在實時連續系統中與Fisher信息量的關系,最后通過半正定規劃法計算了量子糾纏輔助信道、量子退相干信道的容量,以及互信息熵與相對熵不等式的數值驗證,以上結論可以用于實時或離散量子通信系統的容量計算。