0 引言

量子力學(xué)與信息理論是上個(gè)世紀(jì)最重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。雖然這兩個(gè)領(lǐng)域最初是分開研究的,但它們實(shí)際上是密切相關(guān)的^[1]。在本文中,將傳統(tǒng)的信息理論擴(kuò)展到量子信息理論領(lǐng)域,并探索量子糾纏、退相干等效應(yīng)所施加的限制^[2],這不同于經(jīng)典力學(xué)對(duì)信息存儲(chǔ)和傳輸?shù)南拗?sup style="box-sizing: border-box;">[3],因?yàn)閺南鄬?duì)熵的一個(gè)關(guān)鍵屬性邏輯上來看^[4],本文研究中的許多關(guān)鍵結(jié)果的推導(dǎo),與“通常”表述方法需要進(jìn)行區(qū)分。量子通信可以通過使用相對(duì)信息熵理論,計(jì)算量子退相干多用戶信道的容量,并可以通過凸優(yōu)化計(jì)算最大信道容量的范圍^[5]。另外,本文還討論了量子信息熵理論的熱力學(xué)^[6]和量子測(cè)量的物理意義。

針對(duì)電力通信信道實(shí)時(shí)連續(xù)的情況,本文給出了基于Lebesgue積分的絕對(duì)連續(xù)的量子相對(duì)熵概率測(cè)度,并用其密度來標(biāo)識(shí)。對(duì)于概率測(cè)度,可以引入相對(duì)熵和Fisher信息的定義與相互關(guān)系。在信息理論、概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)中這些結(jié)論都能起到重要作用^[7]。

本文在涉及相對(duì)熵函數(shù)的量子信息理論中研究各種凸優(yōu)化問題^[8-9],通過使用半正定規(guī)劃算法求出問題的近似解^[10-11]。特別地,使用這種方法來獲得關(guān)于量子條件互信息與相對(duì)熵?cái)M下限的數(shù)值^[12-13]。

 1 量子相對(duì)熵

此處簡(jiǎn)要介紹量子相對(duì)熵的定義及其主要性質(zhì),文獻(xiàn)[14]給出了下述定理和性質(zhì)的證明,本文不再給出詳細(xì)證明。

1.1 馮諾依曼熵

定義1.1 馮諾依曼熵ρ∈Q(H )定義如下：

 （2）

式中,p為概率函數(shù)。若ρ的譜可以基于正交基{|φ_a〉}_a∈A分解為ρ=∑ρ(a)|φ_a〉 〈φ_a|,則馮諾依曼熵退化為香農(nóng)熵p。

馮諾依曼熵有2個(gè)性質(zhì),其證明見文獻(xiàn)[14]。

定理1.1 令ρ為互正交的密度算子,則馮諾依曼
熵  ,滿足：

 。

定理1.2 記混合狀態(tài)向量為

|ψ〉∈H_A  （4）

1.2 量子相對(duì)熵及其正定性

定義1.2 令ρ,σ∈Q(H),ρ到σ的量子相對(duì)信息熵定義為：

 H_B上給定ρ^AB,有：

 （7）

上式稱為Klein不等式,等號(hào)成立的條件為當(dāng)且僅當(dāng)ρ=σ。

定理1.4 馮諾依曼熵的次可加性。令ρ∈Q(H_A  （8）

其中等號(hào)成立的條件為當(dāng)且僅當(dāng)ρ^AB=ρ^A  （9）

上式稱為Uhlmann不等式。

推論1.1 令ρ^AB,σ^AB∈Q(H_A  （10）

推論1.2 令ε:L(H)→L(H′)在完全正定和酉保跡映射下滿足ε(I)=I,ε:L(H)→L(H′),其中I為H上的單位元,則馮諾依曼熵不遞減：

 H_B  （12）

 2 相對(duì)信息熵的積分表示

例如在電力系統(tǒng)中的信息是實(shí)時(shí)、連續(xù)的,用積分對(duì)相對(duì)信息熵進(jìn)行定義,采用Lebesgue測(cè)度來定義絕對(duì)連續(xù)的實(shí)數(shù)域Rⁿ的熵,用f(x)表其概率密度,并引入熵S(f)和Fisher信息J(f)。

定義2.1 f為Rⁿ上的概率測(cè)度,微分熵定義為^[15]：

 （14）

當(dāng)Rⁿ上的隨機(jī)變量X有可微密度f,同樣可記為J(X)=J(f)。

定義2.2 f對(duì)于g的相對(duì)熵D(f||g)定義為：

 （16）

該值也是非負(fù)數(shù)值,當(dāng)隨機(jī)變量X和Y分別具有密度f和g時(shí),X相對(duì)于Y的相對(duì)熵和相對(duì)Fisher信息分別定義為D(X||Y)=D(f||g)和J(X||Y)=J(f||g)。

引理2.1 令f<<g是具有有限Fisher信息J(f)<∞和J(g)<∞在Rⁿ上的概率測(cè)度,以及有限相對(duì)熵D(f||g)<∞,然后得到：

 （18）

證明：對(duì)上述引理和定理簡(jiǎn)要證明如下。首先當(dāng)t>0時(shí),Fisher信息J(f_t)和J(g_t)有限,且隨機(jī)變量X和Z的均值為0,方差為I_n。對(duì)于  （19）

其中J(Z)=n,且方程D(f_t||g_t)是非遞增的,則：

 （21）

將上式帶入式則得到引理結(jié)論。因?yàn)楫?dāng)t→∞

時(shí), 

帶入即可得到定理的結(jié)論。

 3 量子相對(duì)熵的半正定優(yōu)化

3.1 糾纏輔助信道容量

在前面兩節(jié)對(duì)離散和連續(xù)情況下量子相對(duì)熵的定義和計(jì)算方法,可以進(jìn)一步定義量子信道容量,并采用凸優(yōu)化算法得到最大容量。考慮量子信道,具有輸入A和輸出B, C_ea表示為糾纏輔助經(jīng)典信道的能力。如果允許發(fā)射機(jī)和接收機(jī)共享任意糾纏狀態(tài),可以通過信道可靠地傳輸?shù)慕?jīng)典比特量。記密度集合A算子D(A),量子通道的糾纏輔助經(jīng)典能力具有簡(jiǎn)單的最大化表達(dá)式：

 E,即對(duì)于任意算子X,信道可表示為ψ(X)=tr[UXU^*],信道互信息量可定義為：

 （24）

由于H(B|E)和H(B)在σ=UρU*上是凹的,因此在ρ上S(ρ||ψ)是凹的。

圖1 糾纏輔助經(jīng)典振幅阻尼信道容量Fig.1 The entanglement assisted classical amplitude damping channel capacity

考慮振幅阻尼信道,信干比記為γ,計(jì)算糾纏輔助狀態(tài)下振幅阻尼信道的容量,糾纏輔助經(jīng)典振幅阻尼信道容量如圖1所示。

3.2 量子退相干信道容量

量子信道的（無輔助）量子容量Q(ψ)是能夠可靠地在信道ψ傳輸?shù)牧孔颖忍財(cái)?shù)量（量子位）,可表示為：

 （26）

上述定義中,ψ^c表示信道ψ的互補(bǔ)信道。若ψ為環(huán)境E下由A到B的信道,其對(duì)等映射表示為ψ^c:L(A)→L(B)、U:A→B  （27）

在退相干信道下,如果存在信道ε:L(B)→L(E′)且E′?E,則有ψ^c=ε°ψ。若信道退相干,可以忽略式的極限條件,在ρ中S_C是凹的。這種情況下,假設(shè)ψ^c=ε°ψ且令W:B→E′  （28）

圖2 振幅阻尼受限量子信道容量Fig.2 Amplitude damping confined quantum channel capacity

由于條件熵是凹的,  是凹的。圖2為采用半正定規(guī)劃算法計(jì)算的不同信干比條件下,量子退相干信道的容量。

3.3 糾纏態(tài)相對(duì)熵

狀態(tài)x和x可分離的凸集定義為：

 B)中的兩分狀態(tài)ρ,糾纏態(tài)下相對(duì)熵從ρ到S的距離定義為：

 （30）

同樣可以定義半正定規(guī)劃的k次分割距離R^(k)(ρ)。

3.4 可恢復(fù)的相對(duì)熵和條件相互信息

考慮一個(gè)三方狀態(tài)ρ^ABC在希爾伯特空間A  C上的定義,給定B的A和C的條件相互信息定義為：

 （32）

這里ψ是量子信道,對(duì)應(yīng)作用于B上的三元組。

Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy " style="box-sizing: border-box; color: rgb(43, 43, 43); text-decoration-line: none;">圖3 互信息熵與相對(duì)熵的比較Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy

 4 結(jié)語(yǔ)

本文論述了量子相對(duì)信息熵的定義,及其在實(shí)時(shí)連續(xù)系統(tǒng)中與Fisher信息量的關(guān)系,最后通過半正定規(guī)劃法計(jì)算了量子糾纏輔助信道、量子退相干信道的容量,以及互信息熵與相對(duì)熵不等式的數(shù)值驗(yàn)證,以上結(jié)論可以用于實(shí)時(shí)或離散量子通信系統(tǒng)的容量計(jì)算。