(二)建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

1.確定決策變量

對(duì)企業(yè)的決策者來(lái)說(shuō)，通常存在可以進(jìn)行控制的因素，如產(chǎn)量的多少、運(yùn)輸量的多少、配料的比例、下料的方案等，這些因素可以用變量來(lái)表示，成為決策變量。

2.確定目標(biāo)函數(shù)

企業(yè)的決策者必須有一個(gè)明確的目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)可以是總運(yùn)輸量最小、成套產(chǎn)品數(shù)量最多、利潤(rùn)最大、成本最低等。它是決策變量的函數(shù)，成為目標(biāo)函數(shù)。

3.確定約束條件

實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，決策者的行為必須受到限制，如運(yùn)輸量要受到供應(yīng)能力和需求量的限制、機(jī)床的加工任務(wù)要受到生產(chǎn)能力的限制等，這些變量的限制條件或限制范圍，稱為約束條件，它是一些限制決策者的條件的數(shù)學(xué)描述。

4.線性規(guī)劃問(wèn)題的描述

所謂線性規(guī)劃問(wèn)題，可以概括為：在約束條件下尋求一組決策變量的值，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值，而模型中無(wú)論是目標(biāo)函數(shù)還是約束條件對(duì)變量來(lái)說(shuō)都是線性的。線性是指函數(shù)中所含變量都是一次項(xiàng)，即都是一次函數(shù)。

(三)線性規(guī)劃的解法

線性規(guī)劃的解法有圖解法、單純形法和數(shù)值解法等，圖解法簡(jiǎn)單直觀，但是只能夠解決兩個(gè)變量的問(wèn)題;數(shù)值解法則要求借助于計(jì)算機(jī)。

1.圖解法

含有兩個(gè)變量的線性規(guī)劃模型，可以用在平面上畫圖的方法——圖解法求解。圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)單、方便、直觀，對(duì)于理解線性規(guī)劃的基本原理也是很有幫助的。

這里有幾個(gè)重要的概念：

(1)可行解。滿足所有約束條件的一個(gè)變量，叫做一個(gè)可行解。

(2)可行域。全體可行解構(gòu)成的集合，稱為可行域。

(3)最優(yōu)解。使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)解的可行解，叫做線性規(guī)劃的最優(yōu)解。

一般情況下，一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題可能有一個(gè)唯一的最優(yōu)解、多個(gè)最優(yōu)解、無(wú)解或者只有無(wú)界解。

2.單純形法

圖解法，對(duì)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃是非常方便的，但是當(dāng)變量是三個(gè)或者超過(guò)三個(gè)以上時(shí)，該法就顯得無(wú)能為力了。美國(guó)數(shù)學(xué)家Dantzig發(fā)明的單純形法則是解決多變量線性規(guī)劃的一種有效的代數(shù)方法。單純形法的最大特點(diǎn)就是計(jì)算簡(jiǎn)單、方便、宜于推廣，這個(gè)方法一般只需要用到加、減、乘、除運(yùn)算。目前，單純形法的計(jì)算機(jī)程序十分成熟，已經(jīng)運(yùn)用于許多部門，有效地解決了許多實(shí)際問(wèn)題。為了更好地理解單純形法的思想，先了解一下有關(guān)線性規(guī)劃解的一些基本性質(zhì)：

(1)線性規(guī)劃的約束條件所構(gòu)成的可行域是一個(gè)凸多邊形或凸多面體。

(2)在凸多邊形或凸多面體中有一些重要的點(diǎn)，與所討論的問(wèn)題有著密切的關(guān)系，這就是多邊形的頂點(diǎn)。在線性規(guī)劃中，稱可行域頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可行解為基本可行解，可行解頂點(diǎn)之所以重要，在于如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，那么它的最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)達(dá)到。

(3)基本可行解。對(duì)于一個(gè)具有m個(gè)方程行個(gè)變量(n>m)的線性方程組，如果其系數(shù)矩陣中含有一個(gè)m階單位矩陣(或?qū)Ψ匠探M的增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換簡(jiǎn)化后，其系數(shù)部分出現(xiàn)一個(gè)單位矩降)，則稱單位矩陣所在列對(duì)應(yīng)的變量為基變量，其他的變量成為非基變量。由線性代數(shù)的知識(shí)可以知道，當(dāng)今非基變量取零值時(shí)，則立即得到方程組的一組解(也叫一個(gè)解)，若這組解的所有分量皆大于或等于零的值，則這樣得到的解成為基本可行解。一個(gè)基本可行解中基變量的個(gè)數(shù)等于約束方程的個(gè)數(shù)m，基變量一般是大于零的，而非基變量永遠(yuǎn)是等于零的。

上面說(shuō)過(guò)，最優(yōu)解可以在基本可行解中尋找，但是要把所有的基本可行解全部找出來(lái)，代人目標(biāo)函數(shù)依次進(jìn)行比較，也是比較麻煩的，單純形法的優(yōu)越性就在于不用找出全部的基本可行解，在得到一個(gè)基本可行解F后，依據(jù)這個(gè)解可以求出一個(gè)新的基本可行解X1，并且新解比舊解的目標(biāo)函數(shù)值會(huì)有所改善，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到求出的解無(wú)法再使目標(biāo)函數(shù)得到改善為止。

三、層次分析法

由于客觀事物關(guān)系的復(fù)雜性，許多事物是不能用數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單而明確地表達(dá)的，還有許多事物的關(guān)系本來(lái)就不是數(shù)學(xué)關(guān)系，因此完全用定量的分析方法就難免帶有局限性。在目前的系統(tǒng)分析方法中，對(duì)于涉及因素多、范圍廣、關(guān)系復(fù)雜的大系統(tǒng)，相當(dāng)多的還要依靠定性分析。這些定性分析中包括專家對(duì)專業(yè)范圍內(nèi)事物發(fā)展變化的推測(cè)、對(duì)內(nèi)部和外部關(guān)系的定性描述、對(duì)事物的定性評(píng)價(jià)等。因此，如何將專家的主觀分析數(shù)量化，即將定量分析和定性分析結(jié)合起來(lái)對(duì)客觀事物進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，就成為系統(tǒng)工程的一個(gè)問(wèn)題，層次分析法正是這樣一種將定量分析和定性結(jié)合起來(lái)的方法。

(一)基本原理

用層次分析法作系統(tǒng)分析，首先要把問(wèn)題層次化，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要達(dá)到的目標(biāo)，將問(wèn)題分解成為不同的組成因素，井按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按照不同的層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，并最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)，相對(duì)于最高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要性權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排序問(wèn)題。

在排序計(jì)算中，每一層次的因素相對(duì)于上一層次某一因素的單排序問(wèn)題又可以簡(jiǎn)化成一系列相對(duì)因素的判斷比較。為了將比較判斷定量化，層次分析法引入1-9比率標(biāo)度方法，并寫成矩陣形式，即構(gòu)成所謂的判斷矩陣。形成判斷矩陣后，即可通過(guò)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其對(duì)應(yīng)的特征向量，計(jì)算出某一層元素相對(duì)于上一層次各個(gè)因素的單排序權(quán)值后，用上一層次因素本身的權(quán)值加以綜合，即可計(jì)算出某層因素相對(duì)于上一層次整個(gè)層次的相對(duì)重要性權(quán)值，即層次總排序權(quán)值。這樣，依次由上至下即可計(jì)算出最低層因素相對(duì)于最高層的相對(duì)重要性權(quán)值或相對(duì)優(yōu)劣次序的排序值，決策者根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的這種數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行決策、政策評(píng)價(jià)、選擇方案、制定和修改計(jì)劃、分配資源、決定需求、預(yù)測(cè)結(jié)果、找到解決沖突的方法等。

(二)步驟

層次分析法大致分為五個(gè)步驟：

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

在深入分析所面臨的問(wèn)題之后，將問(wèn)題中所包含的因素劃分為不同層次，如目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、方案層、措施層等，用框圖形式說(shuō)明層次的遞階結(jié)構(gòu)與因素的從屬關(guān)系，當(dāng)某個(gè)層次包含的因素較多時(shí)，可以將該層次進(jìn)一步劃分為若干個(gè)層次。

2.構(gòu)造判斷矩陣

判斷矩陣元素的值反映了人們對(duì)各種因素相對(duì)重要性(或優(yōu)劣、偏好、強(qiáng)度等)的認(rèn)識(shí)，一般采用1-9比率及其倒數(shù)的標(biāo)度方法。當(dāng)相互比較因素的重要性能夠用具有實(shí)際意義的比值說(shuō)明時(shí)，判斷矩陣相應(yīng)元素的值則可以取這個(gè)值。

3.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)

判斷矩陣A的特征根問(wèn)題AW=AmaxW的解Ⅳ經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)元素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱為層次單排序。為進(jìn)行層次單排序(或判斷矩陣)的一致性檢驗(yàn)，需要計(jì)算一致性指標(biāo)時(shí)，認(rèn)為層次單排序的結(jié)果有滿意的一致性，否則需要調(diào)整判斷矩陣的元素取值。

4.層次總排序

計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于最高層(目標(biāo)層)相對(duì)重要的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過(guò)程是從最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。

5.層次總排序的一致性檢驗(yàn)

這一步驟也是從高到低逐層進(jìn)行的。

(三)應(yīng)用

層次分析法是分析復(fù)雜問(wèn)題的一種簡(jiǎn)便方法，它特別適宜于那些難以完全用定量法進(jìn)行分析的復(fù)雜問(wèn)題。可以運(yùn)用層次分析法來(lái)處理決策和評(píng)選問(wèn)題，也可以將層次分析法用于有限資源的分配等。層次分析法在能源問(wèn)題中有很多用處，如在各種能源優(yōu)化規(guī)劃中確定多目標(biāo)的權(quán)重，對(duì)于各種能源開(kāi)發(fā)方案進(jìn)行評(píng)比等。