摘　要：有限的資源和隨機的需求是排隊論存在的基礎，而在如今的社會，這種現象越發廣泛和復雜。我們將要求服務的顧客和提供服務的機構組合成一個系統，稱之為排隊系統。這種系統存在于各個方面，本文研究的是排隊論運用在通信網絡中的各端業務問題。排隊論系統分為優先制排隊系統和非優先制排隊系統，本文描述了帶有非強占權優先制的排隊系統，其模型為兩隊中其中一對帶有優先制度的M/M/1的模型。根據此模型可以定義變量，畫出狀態轉移圖并列出狀態方程，最后求出穩態解。通過性能分析發現，帶有優先權的M/M/1模型系統與一般模型相比性能將會有所提高，這也是優先制度的體現。
關鍵詞：排隊論　狀態轉移　M/M/1模型
 1　規定系統模型
    在實際問題中，選擇適當的模型，有利于更好的解決問題。這里我們采用的是帶優先制度的M/M/1模型。當有n個業務公用一條線路時，事先規定好各自的優先級。本文采用的優先制度為：隊伍中有n個業務公用一條線路，優先級高的一對享有優先權，只要線路有空閑時即可占用，而優先級別低的必須在優先級高的隊伍無呼叫等待且線路空閑時才能占用線路，但不會強行中斷正在占用線路的用戶。這就是非強占權優先制排隊系統。
 
2　定義狀態變量
    定義系統的變量是求解問題難易的關鍵，所選擇的變量要便于計算，其結果要有可用性。選擇的變量越多，維數越大，計算就越難復雜。通信網中業務分析常用的變量是隊長和占用線數等，并且通信網中業務分析趨于穩態，很少涉及暫態，所以我們一般只求穩態解。
    規定A隊列和B隊列，其中A隊有優先權，B隊只能在A隊無等待著的呼叫時占用線路，占用后不會因為A隊有呼叫而被強拆。
    系統狀態主要有兩個因素：線路的繁忙，A．B兩隊等待處理的呼叫數。令t為線路狀態，t =1表示線路占用，t=0表示線路空閑。r與s分別表示A．B兩隊中等待的呼叫數。r與s不包括正在傳輸的呼叫，因為后者可能是A隊的，也可能是B隊的。其中，兩隊的到達率分別為 和 ，服務率為 。
 
3　列出狀態方程
   對于M/M系統，可先畫出狀態轉移圖，直接用柯式方程列出狀態方程。從一個系統的狀態轉移圖可以清楚的看出某個狀態到另一個狀態的轉移概率，這種方法簡單明了，便于分析問題并列出狀態方程。
   當系統空閑時，即t =0，r與s也為0，稱之為“0”狀態。當t =1時，用二維矢量（r，s）代表系統狀態。兩隊的截止隊長（不包括正在傳輸的呼叫）分別為和。狀態轉移圖如圖1所示。


                  圖1　非強占權優先制系統的狀態轉移圖
 
   圖1中所體現出來的優先制度為：當r>0時，（r,s+1）狀態不能轉移到（r,s）狀態，因為一旦有線路空閑，A隊就會占用線路，就轉移到（r-1,s+1）狀態。由圖1可寫出穩態下的系統狀態方程：
r =s =t =0：                               
t =1, r =0, s<：                       
t =1, s =0, r<：                      
 
t =1, > r> 0, > s> 0       
 
t =1, r =, s<：                 
t =1, s =, r< ：               
t =1, s =, r =：                 
 
歸一條件：
                                    
在上述方程中，如果r和s出現負數，理解為為0。上述所有公式即為系統的狀態方程，這些方程構成一個二維的差分方程，求解很麻煩。
 
4　求解穩態狀態方程
   設A隊為不拒絕型的，即；B隊是及時拒絕型的，即，亦即s為0。狀態方程可簡化為：
                                         
                 
   最后求解出：
                                    
5　性能分析
由求解出的 可以得到B隊的拒絕概率：
                                   
信道利用率：
                                      
  上述中
                 
 
其中A隊的平均等待時間為：
                                  
 
    現在來分析標準M/M/1系統的性能。對于標準的M/M/1系統，即B隊是不存在的，平均時間為：
                              
                    
信道利用率：    
                 
                        
可以明顯看出，利用優先制度，再加上B隊列，A隊的平均等待時間將會增長，信道利用率也會提高。這就表明，信道利用率的提高將會帶來的后果是優先隊列的等待時間增長。
 
參考文獻：
[1]周炯槃.通信網理論基礎（修訂版）[M].北京：人民郵電出版社，2009.
[2]